¿Deberían las empresas privadas tener derecho a preguntar a los clientes por su estado de vacunación?

Si. Es importante conocer el estado de vacunación de cara al trabajo por el riesgo laboral que puede conllevar, no es por denigrar a nadie pero no te voy a contratar para trabajar en un basurero si te niegas a la vacuna del tétanos

No, siempre y cuando no trabaje en el ámbito de la salud

Abstención

Sí, pero no han de tener el derecho a ser respondidos, y han de atenerse a la posibilidad de perder a estos clientes.

Que cada empresa siga la política de salud que estime oportuno

No veo porque no, siempre y cuando se respete la decisión de cada persona y no se limite la entrada a las personas no vacunadas, siempre que a estas personas no vacunadas la empresa les aconseje (y solo aconsejar, no obligar) tomar medidas de protección algo mas severas al estar mas expuestas.

Dependiendo del trabajo que se vaya a ejercer